Целые и натуральные числа с примерами

Содержание
Математика — предмет, который логически движется от простого к сложному. Не освоив азы, школьник в дальнейшем будет накапливать белые пятна. Даже темы, которые кажутся простыми для понимания, очень быстро забываются, если теория не закреплена на практике.
Примером может стать раздел «Натуральные числа» — основа всего математического «здания».
Не освоив его, пятиклассник начнет «плавать» уже в дробях. В рамках школьного курса математики за 5 класс мы изучаем тему натуральных и целых чисел и сегодня повторим основные моменты.
Целые и натуральные числа
Натуральные числа — это числа, которые мы натуральным образом используем при счете:
1, 2, 3, 4, 5…
Удивительно, но то, с чем школьник знакомится в разделе «Арифметика», то есть наиболее простая часть математики, стало основой более сложного раздела «Теория чисел». На достижениях «Высшей арифметики» построены криптографические системы, вычислительная математика и многие другие отрасли, определяющие лицо сегодняшнего дня.
Термин «целые числа» относится ко всем натуральным числам вместе с их противоположностями и 0, но не к дробям. Целые числа:
… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …
На числовой прямой числа справа от 0 положительны. Числа слева от 0 отрицательны, как показано на рисунке — перед ними ставится знак «–» («минус»). Для любых двух чисел на числовой прямой всегда больше то, что справа, независимо от его знака (плюса или минуса).
Сложение и вычитание целых чисел
При сложении двух целых чисел с одинаковым знаком (либо обоих положительных, либо обоих отрицательных) необходимо сложить их и сохранить тот же знак.
5 + 6 = 11
1 + 13 = 14
41 + 5 = 46
–1 + (–4) = –5
–1 –4 = –5
–20 – 10 = –30
При сложении двух целых чисел с разными знаками (одно положительное и одно отрицательное) вычтите целые числа и сохраните знак у того, у которого большее значение.
5 — 6 = –1
–1 + 13 = 12
41 + (–5) = 36
–1 + 4 = 3
1 – 4 = –3
–20 + 10 = –10
Чтобы вычислить разность положительных и/или отрицательных целых чисел, просто измените знак вычитаемого числа, а затем используйте правила сложения целых чисел. При этом в действие вступает знаменитое правило «минус на минус дает плюс».
+10 – (+5) = 5
-16 – (–4) = — 12
–20 – (+10) = –10
–15 – (–2) = –17
+10 – (+2) = +10 + (–2) = 8
+26 – (–6) = +26 + (+6) = 32
–20 – (+7) = –20 + (–7) = –13
–5 – (–4) = –5 + (+4) = –1
Если минус предшествует скобке, это означает, что все, что находится в скобках, должно быть вычтено.
Поэтому, используя то же правило, что и при вычитании целых чисел, просто замените каждый знак в скобках на противоположный, а затем сложите.
10 – (+5 – 3 + 8 – 2) = 10 + (–5 + 3 – 8 + 2) = 10 + (– 8) = 2
10 – (+25 – 40 + 100) = 10 + (–25 + 40 – 100) = 10 + (–85) = –75
Или, если вы можете, суммируйте числа в скобках, сначала складывая положительные числа, затем складывая отрицательные числа, затем объединяя и, наконец, вычитая.
10 – (+2 – 5 + 8 – 4) = 10 + (–2 + 5 – 8 + 4) = 10 + (–10 + 9) = 10 – 1= 9
Помните: если знак не указан, число считается положительным.
Для сложения целых чисел справедливо правило коммутативности, при котором их можно переставлять:
+10 – 5 = –5 + 10 = 5
Свойство ассоциативности дает возможность упрощать арифметические действия:
5 + (25 + 3) = (5 + 25) + 3 = 30 + 3 = 33
Свойство нуля означает, что если к числу прибавить или вычесть нуль, получится само число:
5 + 0 = 5
5 – 0 = 5
Умножение и деление целых чисел
Чтобы умножать или делить целые числа, обращайтесь с ними так же, как с обычными числами, но помните следующее правило: нечетное количество отрицательных знаков дает отрицательный ответ. Четное число отрицательных знаков дает положительный ответ.
(– 1) × (–5) = 5
(–10) × (–5) = 50
(–1) × (–1) × (–5) = –5
(–10) × (–10) × (–5) = –500
(–1) × (+5) = –5
(–10) × (+5) = –50
(–1) × (+1) × (–5) = 5
(–10) × (–10) × (5) = 500
Аналогичный прием используется при делении:
(– 10) : (–5) = 2
(–10) : (5) = –2
(–10) : (–1) : (–5) = –2
(–10) × (–10) : (–5) = –20
(–5) : (+1) = –5
(–10) × (+5) : (+1) = –50
(–1) × (+1) × (–5) : (+1) = 5
(–10) × (–10) : (5) : (5) = 4
При выполнении арифметических действий следует помнить об их порядке. Действия следует выполнять в порядке их следования слева направо. Вначале выполняются умножение и деление, а зетам сложение и вычитание. При наличии скобок вначале выполняются действия в них, а затем в указанном выше порядке слева направо.
Для умножения целых чисел справедливо правило коммутативности, при котором их можно переставлять:
5 × 2 = 2 × 5 = 10
Свойство ассоциативности дает возможность упрощать арифметические действия:
5 × (2 × 3) = (5 × 2) × 3 = 10 × 3 = 30
Свойство единицы означает, что если числу умножить на единицу, получится само число:
5 × 1 = 5
Свойство нуля означает, что если числу умножить на нуль, получится само число:
5 × 0 = 0
Внимание. Делить на нуль нельзя!
Модуль целого числа
Числовое значение, когда направление или знак не учитываются, называется абсолютной величиной. Абсолютная величина числа записывается в вертикальных скобках | | и иначе называется «модуль числа».
Следовательно:
|1| = 1
|–1| = 1
|1| = |–1|
Абсолютная величина числа всегда положительна, за исключением случаев, когда число равно 0. Модуль нуля равен нулю:
|0| = 0.
Примеры действий с модулями:
|6| = 6
| –9| = 9
|3 – 10| = |–7| = 7
2 – | –6| = 2 – 6 = –4
Внимание!
Сначала берется модуль, либо выполняются действия под знаком модуля, а затем все остальные операции в установленном порядке.